Representação numérica na computação

No meu artigo anterior, falei sobre o que são os 0's e 1's no mundo da computação.

Para entender como conseguimos representar dados mais complexos a partir de 0's e 1's, é necessário entender sobre sistemas de numeração e representação numérica.

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Sistemas de representação numérica

Estamos acostumados com o sistema de numeração decimal (isto é, sistema de base 10). Representamos números combinando 10 possíveis símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) de modo a representar quantidades. Mas este não é o único jeito.

O sistema de numeração binário (ou sistema de base 2) é usado para representar quantidades com apenas dois símbolos: 0 e 1.

Assim como no sistema decimal, podemos combinar 0's e 1's:

• 10 em binário representa 2 em decimal;
• 11 representa 3;
• 100 representa 4;
• e daí por diante.

Outros sistemas comumente utilizados no mundo da computação são os sistemas octal (base 8) e hexadecimal (base 16).

No sistema octal, formamos números utilizando apenas os símbolos de 0 a 7.

No sistema hexadecimal, além de 0 a 9, utilizamos A, B, C, D, E e F.

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Dígitos e seus pesos

No sistema decimal, os dígitos de um número podem ser classificados como unidade, dezena, centena... Essas nomenclaturas estão associadas a pesos.

Um dígito de dezena possui um peso 10 vezes maior que um dígito de unidade; um dígito de centena, 10 vezes maior que o de dezena; e assim vai.

Do mesmo modo, no sistema binário, cada dígito tem um peso.

Geralmente o bit mais à esquerda é chamado de Bit Mais Significativo (Most Significant Bit, MSB), e o bit mais à direita, Bit Menos Significativo (Least Significant Bit, LSB).

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Agrupando bits e representando números

Na computação, chamamos os símbolos binários de bits (o termo bit é a abreviação de binary digit, ou dígito binário, em português). Geralmente, os bits são agrupados em unidades maiores, por exemplo:

• 1 nibble = 4 bits;
• 1 byte = 8 bits;
• 1 word = 16 bits.

Geralmente, o byte é tomado como unidade de medida para quantificar o tamanho de arquivos, velocidade de upload/download e etc.

Com 1 byte, podemos representar 256 valores diferentes.

Motivo:

• Um bit pode assumir 2 valores possíveis (0 ou 1);
• Um byte é um grupo de 8 bits;
• Logo, podemos representar 2⁸ = 256 combinações diferentes.

"Ah, mas e quanto a valores maiores que 255?"

Podemos agrupar bytes para formar tipos de dados que representam uma faixa maior de valores.

No mundo da programação nos dias de hoje, é comum utilizar tipos de dados inteiros de 32 bits e 64 bits, capazes de representar valores BEEEEEM maiores.

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Representação de números negativos

Se a gente for traduzir do binário para o decimal, com 1 byte podemos representar quantidades inteiras de 0 a 255.

Mas e se a gente precisar representar números negativos?

Bom, no geral, as duas maneiras mais conhecidas para isso são a representação sinal-magnitude e a representação complemento de 2 (esta última mais usada).

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Números negativos: Formato Sinal-Magnitude

Considerando um grupo de bits, podemos reservar o MSB para representar um sinal.

Neste caso, 0 representa sinal positivo; 1 representa sinal negativo.

Na representação Sinal-Magnitude, a parte que representa o valor numérico permanece igual na representação positiva e na negativa.

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Números negativos: Formato Complemento de 2

Na representação por Complemento de 2, também reservamos o MSB para representar o sinal. No entanto, a parte que representa o valor muda.

Para obter a parte que representa o valor, nós invertemos todos os bits (o que é 0 vira 1 e vice-versa), e depois somamos 1 ao valor invertido.

"Ah, mas por que Complemento de 2 é mais usado que Sinal-Magnitude?"

A representação em Complemento de 2 é mais eficiente para operações aritméticas, como por exemplo a subtração.

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Representação de números não-inteiros

Assim como podemos representar números inteiros com o sistema de numeração binário, também podemos representar partes não-inteiras.

As partes não-inteiras tem pesos com expoentes negativos, levando à geração de valores não-inteiros.

No geral, os dois formatos de representação mais comuns para números não-inteiros são:

• Ponto Fixo;
• Ponto Flutuante.

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Números não-inteiros: Ponto Fixo

A representação em Ponto Fixo estabelece que, dado um conjunto de bits, o ponto de separação (que a gente geralmente chama de "casa decimal") é fixado em uma determinada posição.

O Ponto Fixo pode ter suas partes inteira e fracionária dimensionadas de várias formas.

Um determinado valor representado em Ponto Fixo Qm.n possui:

• 1 bit reservado para sinal;
• m bits reservados para a parte inteira;
• n bits reservados para a parte fracionária.

Vantagens da representação em ponto fixo:

• Eficiência computacional;
• Recomendado para uso em ambientes com poder de computação limitado;
• Os mesmos circuitos para aritmética de números inteiros podem ser usados para cálculos com números de ponto fixo.

Desvantagens da representação em ponto fixo:

• Falta de flexibilidade e precisão limitada na representação da parte fracionária;
• Erros significativos de arredondamento/truncamento.

Pensando nas desvantagens, a IEEE produziu o Padrão IEEE-754 para representação de números em Ponto Flutuante.

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Números não-inteiros: Ponto Flutuante

Na representação convencional em Ponto Flutuante definida pelo Padrão IEEE-754, podemos ter precisão simples (32 bits) ou dupla (64 bits) para representar um número.

Num número em ponto flutuante, são definidas 3 partes principais:

• Sinal;
• Expoente;
• Mantissa.

Mas para que essas partes servem?

No geral, para recuperar um número a partir da representação em ponto flutuante, calculamos a seguinte fórmula:

• N = Número;
• S = Sinal;
• E = Expoente;
• M = Mantissa.

Mas como se chegou a essa fórmula?

Primeiro, vamos entender a parte do sinal.

Calculando $(-1)^{S}$ , obtemos o fator multiplicador que atribui o sinal positivo ou negativo ao número.

Caso S = 0, o fator multiplicador é 1. Caso S = 1, o fator é -1.

Quanto ao expoente e a mantissa:

A mantissa carrega o valor numérico.

O expoente determina a posição da casa que irá dividir a representação binária em parte inteira e parte fracionária.

Chamamos esta representação de Ponto Flutuante porque, por meio dela, podemos reposicionar a "casa" de modo dinâmico, e assim, conseguimos algumas vantagens:

• Maior precisão (comparada com o ponto fixo);
• Maior flexibilidade no posicionamento da casa;
• Pode representar uma faixa maior de valores.

Quanto às desvantagens do ponto flutuante, temos:

• Maior complexidade para operações aritméticas;
• Representação não é totalmente imune a erros de arredondamento/truncamento (ainda assim, os erros estão dentro do limite do aceitável).

A complexidade e a velocidade das operações aritméticas com números em ponto flutuante não chega a ser uma preocupação tão grande hoje em dia.

Os processadores e microcontroladores modernos já contam com estruturas dedicadas e otimizadas para operações com ponto flutuante.