1. Dice loss 是什麼 ?

         Dice loss是Fausto Milletari等人在V-net中提出的Loss function，其源於Sørensen–Dice coefficient，是Thorvald Sørensen和Lee Raymond Dice於1945年發展出的統計學指標。這種coefficient有很多別名，最響亮的就是F test的F1 score。在了解Dice loss之前我們先談談Sørensen–Dice coefficient是什麼。

         回顧一下比較常聽到的F1 score，統計學中有所謂的Sensitivity和Specificity，而機器學習(模式識別)則有Precision和Recall，它們的關係如下：

可看到Precision和Recall的主角都是被正確挑選的那一群，分別用挑選總數(TP+FP)和正確總數(TP+FN)來評估正確的比例。F1 score便是想以相同權重(β=1)的Harmonic mean(調和平均)去整合這兩個指標：

現在回到Sørensen–Dice coefficient的常見表現方式：

QS是Quotient of Similarity(相似商)，就是coefficient的值，只會介於0～1。Image segmentation中，模型分割出的mask就是影像的挑選總數，專家標記的mask就是正確總數。對應到公式便可知挑選總數(TP+FP)和正確總數(TP+FN)分別就是X和Y，交集便是TP，可見Dice coefficient等同F1 score，直觀上是計算X與Y的相似性，本質上則同時隱含Precision和Recall兩指標。

         談完了coefficient，Dice loss其實就是它的顛倒。當coefficient越高，代表分割結果與標準答案相似度越高，而模型則是希望用求極小值的思維去訓練比較可行，因此常用的Loss function有 "1-coefficient" 或 "-coefficient"。

2. Dice loss 實作

實作環境：

• Windows 10
• Python 3.6.4
  • MXNet 1.0.1

         因為是小測試就不用GPU了。公式中的交集在image segmentation中很好實現，因為通常標準答案的mask都是由0和1組成的，所以只要將兩張mask作逐點乘積(Hadamard product)，也就是對應點相乘起來而不作向量內積，再加總起來就好了。因為False Positive跟Negative的情況就是其中一張mask值是0，所以在後續加總時會被排除。

         另一個有趣的點是我在公式中加入了Laplace smoothing，也就是分子分母同時加1，這是啟發自一個pytorch的issue comment。據他所說，Laplace smoothing可以減少Overfitting，我想是因為讓整個coefficient值變大，讓loss變小，就可以更快達到收斂，而避免過多的訓練迭代。

from mxnet import nd
smooth = 1.
def dice_loss(y_pred, y_true):
    product = nd.multiply(y_pred, y_true)
    intersection = nd.sum(product)
    coefficient = (2.*intersection +smooth) / (nd.sum(y_pred)+nd.sum(y_true) +smooth)
    loss = 1. - coefficient
    # or "-coefficient"
    return(loss)

接著隨機生成兩個矩陣測試：

y_pred = nd.random.uniform(0, 1, (3,3))
y_true = nd.random.uniform(0, 2, (3,3)).astype('int8').astype('float32')
dice_loss(y_pred, y_true)
---------------------------------------------------------

y_pred = [[0.38574776 0.08795848 0.83927506]
          [0.21592768 0.44453627 0.10463644]
          [0.8793516  0.65118235 0.5184219 ]]
         <NDArray 3x3 @cpu(0)>

y_true = [[1. 0. 0.]
          [0. 0. 0.]
          [1. 1. 1.]]
         <NDArray 3x3 @cpu(0)>

product = [[0.38574776 0.         0.        ]
           [0.         0.         0.        ]
           [0.8793516  0.65118235 0.5184219 ]]
          <NDArray 3x3 @cpu(0)>

intersection = [2.4347036] <NDArray 1 @cpu(0)>

coefficient = [0.64307916] <NDArray 1 @cpu(0)>
# no smooth : [0.59916145] <NDArray 1 @cpu(0)>

loss = [0.35692084] <NDArray 1 @cpu(0)>
# no smooth : [0.40083855] <NDArray 1 @cpu(0)>

         以上結果用計算機敲一敲就可以驗證了，可以看到在有smooth的情況下，coefficient增大了而loss減少了，因此可以讓神經網絡更快收斂。

3. 後記

         在2016年V-net開始使用後，Dice loss在2017年得到了一些進化，其中有篇文獻實驗比較了Dice loss和影像深度學習常用的Cross-entropy的性能，發現Dice loss在image segmentation真的表現比較好，所以我們之後來談一下Dice loss的最新進展吧！